Question

如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．
（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形翻折變換的性質可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結論；
（2）連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結論；
（3）設AG=x，則EC=x-4，CF=x-6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長，設NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．
解答：（1）證明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形；

（2）MN²=ND²+DH²，
理由：連接NH，
∵△ADH由△ABM旋轉而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN=NH，
∴MN²=ND²+DH²；

（3）設AG=BC=x，則EC=x-4，CF=x-6，
在Rt△ECF中，
∵CE²+CF²=EF²，即（x-4）²+（x-6）²=100，x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD===12，
∵BM=3，
∴MD=BD-BM=12-3=9，
設NH=y，
在Rt△NHD中，
∵NH²=ND²+DH²，即y²=（9-y）²+（3）²，解得y=5，即MN=5．
點評：本題考查的是翻折變換及勾股定理，解答此類題目時常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．