Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數y₁=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A的坐標；
（2）當∠ABC=45°時，求m的值；
（3）已知一次函數y₂=kx+b，點P（n，0）是x軸上的一個動點，在（2）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數的圖象于點M，交二次函數y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象于N．若只有當-2＜n＜2時，點M位于點N的上方，求這個一次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）令y=0，則求得兩根，又由點A在點B左側且m＞0，所以求得點A的坐標；
（2）二次函數的圖象與y軸交于點C，即求得點C，由∠ABC=45°，從而求得；
（3）由m值代入求得二次函數式，并能求得交點坐標，則代入一次函數式即求得．

解答：解：（1）∵點A、B是二次函數y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象與x軸的交點，
∴令y=0，即mx²+（m-3）x-3=0
解得x₁=-1，x2=

3

m

又∵點A在點B左側且m＞0
∴點A的坐標為（-1，0）

（2）由（1）可知點B的坐標為(

3

m

，0)
∵二次函數的圖象與y軸交于點C
∴點C的坐標為（0，-3）
∵∠ABC=45°
∴OB=

3

m

=3，
∴m=1

（3）由（2）得，二次函數解析式為y₁=x²-2x-3，
∵只有當-2＜n＜2時，點M位于點N的上方，
∴當-2＜n＜2時，y₁＜y₂，
即一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別為-2和2，
由此可得交點坐標為（-2，5）和（2，-3），
將交點坐標分別代入一次函數解析式y=kx+b中，
得

-2k+b=5 2k+b=-3

，解得：

k=-2 b=1

∴一次函數解析式為y=-2x+1．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，（1）令y=0則求得兩根，又由AB位置確定m＞0，即求得；（2）二次函數的圖象與y軸交于點C，再由45度從而求得．（3）由m值代入求得二次函數式，求得交點坐標，則代入一次函數式即求得．本題比較模糊，按照一般計算，代入即求得．