Question

已知：如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長．

Answer 1

（1）證明：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由

AC

對的圓周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直徑
∴BD是⊙O的切線．

（2）∵OD⊥弦BC于點F，且點O圓心，
∴BF=FC
∴BF=4
由題意OB是半徑即為5
∴在直角三角形OBF中OF為3
由以上（1）得到△DBF∽△OBD
∴

BD

BF

=

OB

OF

即得BD=

20

3

．