Question

19．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求證：BE=CF；
（2）若∠BAC=60°，BE=1，求AC．

Answer 1

分析 （1）首先由角平分線的性質可得DE=DF，根據BD=CD，推出Rt△BED≌Rt△DFC（HL），根據全等三角形的性質得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠B=∠C，推出△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，由三角形的內角和得到∠BDE=30°，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC；

（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2，
∴AC=BC=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質和判定，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．