Question

如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、N．
（1）求線段OD的長；
（2）若tan∠C=，求弦MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出OD的長；
（2）過O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME=MN，再根據tan∠C=可求出OE的長，利用勾股定理即可求出ME的長，進而求出答案．
解答：解：（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴=，
即=，
又OA=3，AC=2，
∴OB=3，
∴=，
∴OD=5；

（2）過O作OE⊥CD，連接OM，則ME=MN，
∵tan∠C=，即=，
∴設OE=x，則CE=2x，
在Rt△OEC中，OC²=OE²+CE²，即5²=x²+（2x）²，解得x=，
在Rt△OME中，OM²=OE²+ME²，即3²=（）²+ME²，解得ME=2．
∴MN=4，
答：弦MN的長為4．
點評：本題考查的是垂徑定理，涉及到銳角三角函數的定義、相似三角形的判定與性質及勾股定理，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．