Question

如圖，已知拋物線(xiàn)F₁：y=x²-2x+2，的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為A，與直線(xiàn)OP交于另一點(diǎn)B，將拋物線(xiàn)F₁向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得拋物線(xiàn)F₂，拋物線(xiàn)F₂與x軸相交于D、C兩點(diǎn)（D在C的左邊）．
（1）求直線(xiàn)OP及拋物線(xiàn)F₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接AC，探究OB與AC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在直線(xiàn)OB上是否存在點(diǎn)Q，使△DCQ的周長(zhǎng)最小？若存在，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)和△DCQ周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：∵F₁：y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴P（1，1），
設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為y=kx，
∴1=1×k，
即k=1，
∴直線(xiàn)OP的解析式為：y=x，
∵F₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，1），
∴F₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），
∴F₂的解析式為：y=-，
即為：y=x²-3x+2，
答：直線(xiàn)OP的解析式是y=x，拋物線(xiàn)F₂的函數(shù)關(guān)系式是y=-．

（2）解：設(shè)B（a，b），
∵直線(xiàn)OP：y=x與x軸的夾角是45°，
∴a=b，
∵B在拋物線(xiàn)y=x²-2x+2上，
∴a=a²-2a+2，解得：a₁=2，a₂=1（舍去），
∴B（2，2），
又∵解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，
∴D（1，0），C（2，0），
∵A（0，2），
∴OA=AB=BC=OC=2，
∵∠AOC=90°，
∴四邊形OCBA為正方形，
∴OB=AC，OB⊥AC，OB與AC互相平分．

（3）解：作D點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接D′C交OP于Q，
則Q為所求的點(diǎn)，
∵OP平分∠AOC，
∴D′的坐標(biāo)是（0，1），
∴DD′=，
設(shè)直線(xiàn)CD′的解析式是y=kx+1，
把C（2，0）代入得：k=-，
∴y=-x+1，
∵直線(xiàn)OP的解析式是y=x，代入得：x=-x+1，
x=，
即Q的坐標(biāo)是（，），
∵D、D′關(guān)于直線(xiàn)OP對(duì)稱(chēng)，
∴DQ=D′Q，
∴DQ+CQ=D′Q+CQ=CD′===，
∴△DCQ的周長(zhǎng)的最小值是DQ+CQ+CD=+（2-1）=+1．
分析：（1）化成頂點(diǎn)式，即可求出P的坐標(biāo)，根據(jù)平移性質(zhì)求出F₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)B（a，b），得出a=b，代入y=x²-2x+2求出B的坐標(biāo)，解方程x²-3x+2=0求出C的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)得出正方形OCBA，根據(jù)正方形性質(zhì)求出即可；
（3）作D關(guān)于OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，求出D′的坐標(biāo)，連接D′C交OP于Q，則Q為所求，求出直線(xiàn)CD′的解析式，求出直線(xiàn)CD′和直線(xiàn)OP的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出Q的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出CD′的長(zhǎng)，即可求出三角形的周長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解二元一次方程組，解一元二次方程，二次函數(shù)的三種形式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．