Question

（2005•梅州）如圖，已知C、D是雙曲線y=在第一象限分支上的兩點，直線CD分別交x軸、y軸于A、B兩點．設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），連接OC、OD（O是坐標有點），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．
（1）求C、D的坐標和m的值；
（2）雙曲線上是否存在一點P，使得△POC和△POD的面積相等？若存在，給出證明，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CG⊥x軸于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的長，就得到C點的坐標．根據待定系數法得到反比例函數的解析式．過D作DH⊥x軸于H，則DH=y₂，OH=x₂，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y₂=3x₂，由x₂y₂=3解得DH的長，進而求出OH，得到D點的坐標．
（2）雙曲線上存在點P，使得S_△POC=S_△POD，這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的交點，易證△POC≌△POD，則S_△POC=S_△POD
解答：解：（1）過點C作CG⊥x軸于G，
則CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=，
∴，
即y₁=3x₁，
又∵OC=，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合題意舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴點C的坐標為C（1，3）．
又點C在雙曲線上，可得：m=3，
過D作DH⊥x軸于H，則DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=，
∴，
即x₂=3y₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴點D的坐標為D（3，1）；

（2）雙曲線上存在點P，使得S_△POC=S_△POD，
這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的交點
∵點D（3，1），
∴OD=，
∴OD=OC，
∴點P在∠COD的平分線上，
則∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
點評：本題主要是根據勾股定理和三角函數的定義解決問題，通過它們把結論轉化為方程的問題來解題．