Question

如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30°，D為BC的中點，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點，過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）計算：AC•AF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA、OB，證明△ABD為等邊三角形后根據三心合一的定理求出∠OAC=60°，求出四邊形ABDF內接于圓O，利用切線的性質求出AE⊥DE；
（2）由1可得△ABD為等邊三角形，易證△ADF∽△ACD，可得AD²=AC•AF．
解答：（1）證明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D為BC的中點，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC．
∴△ABD為等邊三角形．（2分）
∴O點為△ABD的中心（內心，外心，垂心三心合一）．
連接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°，
∴∠OAC=60°．（3分）
又∵AE為⊙O的切線，
∴OA⊥AE，∠OAE=90°．
∴∠EAF=30°．
∴AE∥BC．（6分）
又∵四邊形ABDF內接于圓O，
∴∠FDC=∠BAC=90°．
∴∠AEF=∠FDC=90°，即AE⊥DE．（8分）

（2）解：由（1）知，△ABD為等邊三角形，
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC．
∴△ADF∽△ACD，則．（10分）
∴AD²=AC•AF，又AD=BC=6．
∴AC•AF=36．（12分）
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．