Question

某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和成本進行了調研，結果如下：每件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線的一部分上的點來表示（如圖2）。

（說明：圖1、圖2中的每個實心黑點所對應的縱坐標分別指相應月份的售價和成本。）

請你根據圖象提供的信息回答：

（1）每件商品在3月份出售時的利潤（利潤＝售價－成本）是多少元？

（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎？（請寫出計算過程，不要求寫自變量的取值范圍）若該公司共有此種商品30000件，準備在一個月內全部售完，請你計算一下至少可獲利多少元？

Answer 1

解：（1）每件商品在3月份出售時的利潤為5元

（2）∵拋物線的頂點坐標為（6，4）

∴設拋物線的解析式為Q=a(t-6)²+4

∵拋物線過（3，1）點

∴1=a(3-6)²+4

解得：a=-

∴Q=- (t-6)^­­2+4=-t²+4t-8,其中t=3、4、5、6、7   

（3）設每件商品的售價M（元）與時間t(月)之間的函數關系式為M=kt+b

∵線段過（3，6）、（6，8）兩點

∴

解得：k=,b=4

∴M=  t+4，其中t=3、4、5、6、7                         

所以每件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為

W=M-Q=(t+4)-(-t²+4t-8)= t²-t+12          

∴W=(t-5)²+ ,其中t=3、4、5、6、7

∴當t=5時，W的最小值為元                 

∴30000件商品一個月內售完，至少獲利30000×=110000元

答：30000件商品一個月內售完，至少獲利110000元.