Question

某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和成本進行了調研，結果如下：每件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線的一部分上的點來表示（如圖2）．
（說明：圖1，圖2中的每個實心黑點所對應的縱坐標分別指相應月份的售價和成本．）
請你根據圖象提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售時的利潤（利潤=售價-成本）是多少元？
（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎（請寫出計算過程，不要求寫自變量的取值范圍）？若該公司共有此種商品30000件，準備在一個月內全部售完，請你計算一下至少可獲利多少元？

Answer 1

分析：（1）從圖易知3月份每件商品售價6元，成本1元，易求利潤；
（2）根據圖象特征設解析式為頂點式易求解析式；
（3）根據利潤的計算方法，顯然需求直線解析式，再求差，運用函數性質計算利潤．

解答：解：（1）每件商品在3月份出售時的利潤為5元；（1分）

（2）∵拋物線的頂點坐標為（6，4）
∴設拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4
∵拋物線過（3，1）點
∴1=a（3-6）²+4
解得：a=-

1

3

∴Q=-

1

3

（t-6）²+4=-

1

3

t²+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；（3分）

（3）設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數關系式為M=kt+b
∵線段過（3，6）、（6，8）兩點
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=

2

3

，b=4
∴M=

2

3

t+4，其中t=3、4、5、6、7（4分）
所以每件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為
W=M-Q=（

2

3

t+4）-（-

1

3

t²+4t-8）=

1

3

t²-

10

3

t+12（5分）
∴W=

1

3

（t-5）²+

11

3

，其中t=3、4、5、6、7
∴當t=5時，W的最小值為

11

3

元（6分）
∴30000件商品一個月內售完，至少獲利30000×

11

3

=110000元．
答：30000件商品一個月內售完，至少獲利110000元．（7分）

點評：此題難度在第3個問題：表示利潤．運用二次函數的性質求最值常用配方法或公式法．