Question

如圖，平面上一點P從點M（，1）出發，沿射線OM方向以每秒1個單位長度的速度作勻速運動，在運動過程中，以OP為對角線的矩形OAPB的邊長OA：OB=1：；過點O且垂直于射線OM的直線l與點P同時出發，且與點P沿相同的方向、以相同的速度運動．
（1）在點P運動過程中，試判斷AB與y軸的位置關系，并說明理由．
（2）設點P與直線l都運動了t秒，求此時的矩形OAPB與直線l在運動過程中所掃過的區域的重疊部分的面積S．（用含t的代數式表示）

Answer 1

解：（1）AB∥y軸．
理由：∵Rt△OAB中，tan∠ABO=OA：OB=1：，
∴∠ABO=30°，
設AB交OP于點Q，交x軸于點S，
∵矩形的對角線互相平分且相等，則QO=QB，
∴∠QOB=30°，
過點M作MT⊥x軸于T，則tan∠MOT=1：，
∴∠MOT=30°，
∴∠BOS=60°，
∴∠BSO=90°，
∴AB∥y軸；

（2）過點A作垂直于射線OM的直線交OM于點D，過點B且垂直于射線OM的直線交OM于點E，

則OD=t．
∵OP=2+t，
∴OB=（2+t），OE=（2+t），OA=（2+t），OD=（2+t），
①當0＜t≤（2+t），即0＜t≤時，S=t²，
②當（2+t）＜t≤（2+t）即＜t≤6時，
設直線l交OB于F，交PA于G，交OP于點C，
則OF=t，PG=CP=，
∴AG=PA-=t-，S=（t-+t）•（2+t）=t²+t-．
③當t＞（2+t）即t＞6時，
∵CP=2，
∴S=S_矩形-×4×=（2+t）×（2+t）-=t²+t-．
分析：（1）證AB與y軸平行，可根據OA：OB的值得出特殊角的度數，然后利用矩形的性質：對角線互相平分且相等，得出∠MOB=∠ABO=30°，根據M點的坐標可得出∠MOS=30°，即∠BOS=60°由此可證得AB⊥x軸即AB∥y軸．
（2）先找出關鍵時刻的t的值．OM=2，因此PO=2+t．
當l與AD重合時，此時OC=OD=t，即t=OA=OP=（2+t）
當l與BE重合時，OC=OE=t，EP=OD=（2+t），因此OE=t=（2+t）
因此本題可分三種情況進行討論：
①當0＜t≤（2+t），即0＜t≤時，此時直線l在OD上運動，掃過部分是個直角三角形，此時OC=t，易求得直角三角形的兩條直角邊分別為t和2t，由此可求出掃過部分的面積．
②當（2+t）＜t≤（2+t），即＜t≤6時，掃過部分是個直角梯形．可根據CE的長求出梯形的上底，進而求出梯形的面積．
③當t＞（2+t）即t＞6時，重合部分是個多邊形，可用矩形的面積減去右邊的小三角形的面積進行求解．
點評：本題是運動性問題，考查了矩形的性質和圖形面積的求法，找出幾個關鍵點是解題的關鍵．