Question

（1）如圖（1）點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE．求證：△BCP≌△DCE；
（2）直線EP交AD于F，連接BF，FC．點G是FC與BP的交點．
①若CD=2PC時，求證：BP⊥CF；
②若CD=n•PC（n是大于1的實數）時，記△BPF的面積為S₁，△DPE的面積為S₂．求證：S₁=（n+1）S₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用SAS，證明△BCP≌△DCE；
（2）在（1）的基礎上，再證明△BCP≌△CDF，進而得到∠FCD+∠BPC=90°，從而證明BP⊥CF；
（3）設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1，分別求出S₁與S₂的值，得S₁=（n²-1），S₂=（n-1），所以S₁=（n+1）S₂結論成立．
解答：證明：（1）在△BCP與△DCE中，
，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP與△CDF中，
，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．
②證法一：設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1．
易知△FDP為等腰直角三角形，
∴FD=DP=n-1．
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=（BC+FD）•CD-BC•CP-FD•DP
=（n+n-1）•n-n×1-（n-1）²
=（n²-1）；
S₂=DP•CE=（n-1）×1=（n-1）．
∵n²-1=（n+1）（n-1），
∴S₁=（n+1）S₂．
證法二：
∵AD∥BE，
∴△FDP∽△ECP，
∴=，
∴S₁=S_△BEF．
如下圖所示，連接BD．

∵BC：CE=CD：CP=n，
∴S_△DCE=S_△BED，
∵DP：CP=n-1，
∴S₂=S_△DCE，
∴S₂=S_△BED．
∵AD∥BE，∴S_△BEF=S_△BED，
∴S₁=（n+1）S₂．
點評：本題是幾何綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形、圖形的面積等知識點，試題的難度不大．