Question

（2013•淄博）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A與點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是A（4，0），D（10，0）．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，求直線BD的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)C從點(diǎn)O沿y軸向下移動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑的⊙B與y軸相切（切點(diǎn)為C）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）如圖3，點(diǎn)C從點(diǎn)O沿y軸向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，-2

3

）時(shí)，求∠ODB的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，直接運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出直線BD的解析式；
（2）作BE⊥x軸于E，就可以得出∠AEB=90°，由圓的切線的性質(zhì)就可以而出B的縱坐標(biāo)，由直角三角形的性質(zhì)就可以求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得出結(jié)論；
（3）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點(diǎn)C、E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F，連接AE．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)圓心角與圓周角之間的關(guān)系及勾股定理就可以點(diǎn)B的坐標(biāo)，作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)正切值的意義就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵A（4，0），
∴OA=4，
∴等邊三角形ABC的高就為2

3

，
∴B（2，-2

3

）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得

2k+b=-2 3 10k+b=0

，
解得：

k= 3 4 b=- 5 3 2

，
∴直線BD的解析式為：y=

3

4

x-

5 3

2

；

（2）作BE⊥x軸于E，
∴∠AEB=90°．
∵以AB為半徑的⊙S與y軸相切于點(diǎn)C，
∴BC⊥y軸．
∴∠OCB=90°
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACO=30°，
∴AC=2OA．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴AC=8，
∴由勾股定理得：OC=4

3

．
作BE⊥x軸于E，
∴AE=4，
∴OE=8，
∴B（8，-4

3

）；

（3）如圖3，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點(diǎn)C、E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F，連接AE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠OEA=

1

2

∠ABC=30°，
∴AE=2OA．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴AE=8．
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
OE=4

3

．
∵C（0，-2

3

），
∴OC=2

3

，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=2

7

．
∵CE=OE-OC=4

3

-2

3

=2

3

．
∵BF⊥CE，
∴CF=

1

2

CE=

3

，
∴OF=2

3

+

3

=3

3

．
在Rt△CFB中，由勾股定理，得
BF²=BC²-CF²，
=28--3=25，
∴BF=5，
∴B（5，-3

3

）．
過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
∴BQ=3

3

，OQ=5，
∴DQ=5，
∴tan∠ODB=

BQ

DQ

=

3 3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，圓周角與圓心角的關(guān)系定理的運(yùn)用，切線的性質(zhì)的運(yùn)用及直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用勾股定理求線段的值是關(guān)鍵．