Question

（2013•龍巖）某公司欲租賃甲、乙兩種設備，用來生產A產品80件、B產品100件．已知甲種設備每天租賃費為400元，每天滿負荷可生產A產品12件和B產品10件；乙種設備每天租賃費為300元，每天滿負荷可生產A產品7件和B產品10件．
（1）若在租賃期間甲、乙兩種設備每天均滿負荷生產，則需租賃甲、乙兩種設備各多少天恰好完成生產任務？
（2）若甲種設備最多只能租賃5天，乙種設備最多只能租賃7天，該公司為確保完成生產任務，決定租賃這兩種設備合計10天（兩種設備的租賃天數均為整數），問該公司共有哪幾種租賃方案可供選擇？所需租賃費最少是多少？

Answer 1

分析：（1）設需租賃甲、乙兩種設備分別為x、y天，然后根據生產A、B產品的件數列出方程組，求解即可；
（2）設租賃甲種設備a天，表示出乙種設備（10-a）天，然后根據租賃兩種設備的天數和需要生產的A、B產品的件數列出一元一次不等式組，求出解集，再根據天數a是正整數設計租賃方案，然后求出各種方案的費用或列出關于費用的一次函數，然后根據一次函數的增減性確定租賃費用最少的方案．

解答：解：（1）設需租賃甲、乙兩種設備分別為x、y天，
則依題意得

12x+7y=80 10x+10y=100

，
解得

x=2 y=8

，
答：需租賃甲種設備2天、乙種設備8天；

（2）設租賃甲種設備a天、乙種設備（10-a）天，總費用為w元，
根據題意得，

a≤5 10-a≤7 12a+7(10-a)≥80 10a+10(10-a)≥100

，
∴3≤a≤5，
∵a為整數，
∴a=3、4、5，
方法一：∴共有三種方案．
方案（1）甲3天、乙7天，總費用400×3+300×7=3300；
方案（2）甲4天、乙6天，總費用400×4+300×6=3400；
方案（3）甲5天、乙5天，總費用400×5+300×5=3500；
∵3300＜3400＜3500，
∴方案（1）最省，最省費用為3300元；

方法二：則w=400a+300（10-a）=100a+3000，
∵100＞0，
∴w隨a的增大而增大，
∴當a=3時，w_最小=100×3+3000=3300，
答：共有3種租賃方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天．最少租賃費用3300元．

點評：本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，讀懂題目信息，準確找出題中的等量關系和不等量關系是解題的關鍵．