Question

如圖，在公園中，相距40米的兩個觀景臺A、B之間有一個圓形湖泊，它的圓心落在AB連線的中點O上，半徑為10米．現要修建一條連接A、B的觀景長廊，計劃沿AC、

CD

、DB的路線修建，其中AC、DB分別與圓O相切于點C、D．
（1）求AC的長；（結果取精確值）
（2）求這個觀景長廊的全長．
（

3

取1.732，π取3.14，結果精確到0.1米）

Answer 1

分析：（1）連接OC、OD．利用切線的性質推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中根據勾股定理求得AC=10

3

；
（2）觀景長廊的全長=AC+

CD

+BD．根據（1）的解答原理和結果知AC=BD=10

3

，然后利用直角三角形中的邊角關系及平角的定義求得∠DOC=60°，最后由弧長的計算公式求得

CD

的長度．

解答：解：連接OC、OD．
（1）∵AC是⊙O的切線，
∴OC⊥AC．
∵AO=

1

2

AB=20，OC=10，
∴在Rt△ACO中，根據勾股定理，得
AC=10

3

；

（2）在Rt△ACO中，∵AO=20，OC=10，
∴∠AOC=60°；
同理，可得BD=10

3

，∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
∴

CD

=

10π

3

，
∴路線全長為AC+

CD

+BD=20

3

+

10π

3

≈45.1m．

點評：本題考查了勾股定理、弧長的計算以及切線的性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．