Question

如圖，在公園中，相距40米的兩個(gè)觀景臺(tái)A、B之間有一個(gè)圓形湖泊，它的圓心落在AB連線的中點(diǎn)O上，半徑為10米．現(xiàn)要修建一條連接A、B的觀景長(zhǎng)廊，計(jì)劃沿AC、、DB的路線修建，其中AC、DB分別與圓O相切于點(diǎn)C、D．
（1）求AC的長(zhǎng)；（結(jié)果取精確值）
（2）求這個(gè)觀景長(zhǎng)廊的全長(zhǎng)．
（取1.732，π取3.14，結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

解：連接OC、OD．
（1）∵AC是⊙O的切線，
∴OC⊥AC．
∵AO=AB=20，OC=10，
∴在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，得
AC=10；

（2）在Rt△ACO中，∵AO=20，OC=10，
∴∠AOC=60°；
同理，可得BD=10，∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
∴=，
∴路線全長(zhǎng)為AC++BD=20+≈45.1m．
分析：（1）連接OC、OD．利用切線的性質(zhì)推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中根據(jù)勾股定理求得AC=10；
（2）觀景長(zhǎng)廊的全長(zhǎng)=AC++BD．根據(jù)（1）的解答原理和結(jié)果知AC=BD=10，然后利用直角三角形中的邊角關(guān)系及平角的定義求得∠DOC=60°，最后由弧長(zhǎng)的計(jì)算公式求得的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算以及切線的性質(zhì)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．