Question

已知：等邊的邊長為．

探究（1）：如圖１，過等邊的頂點依次作的垂線圍成求證：是等邊三角形且；

探究（2）：在等邊內取一點，過點分別作垂足分別為點

①如圖2，若點是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論（不必證明）：結論1．；結論2．；

②如圖3，若點是等邊內任意一點，則上述結論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

 

Answer 1

證明：如圖1，為等邊三角形

∴

同理：

為等邊三角形．

在中，

在中，

（2）：結論1成立.

證明；方法一：如圖2，連接

由=

作垂足為，

則

方法二：如圖3，過點作分別交于點，過點

作于點，

是等邊三角形

四邊形是矩形

在中，

在中，

在中，

                               

（2）結論2成立．

證明：方法一：如圖４，過頂點依次作邊的垂線圍成由（1）得為等邊三角形且················ 9分

過點分別作于,于于點于點

由結論1得：

又

四邊形為矩形

同理：，

方法二：（同結論1方法二的輔助線）

在中，

在中，

同理：

=

=

由結論1得：

方法三：如圖5，連接，根據勾股定理得：

：

整理得：

分