Question

如圖，在△ABC中，分別以點A和B為圓心，大于

1

2

AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，
（1）直線MN與線段AB的關系是怎樣的？為什么？
（2）若△ADC的周長為10，AB=7，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）首先連接AM，AN，BM，BN，可得AN=BN，AM=BM，可得點N在線段AB的垂直平分線上，點M在線段AB的垂直平分線上，即可證得MN是線段AB的垂直平分線；
（2）由線段垂直平分線的性質，即可得AD=BD，又由△ADC的周長為10，AB=7，即可求得△ABC的周長．

解答：解：（1）MN垂直平分AB．…．（1分）
理由：連接AM，AN，BM，BN，
根據題意得：AN=BN，AM=BM，
∴點N在線段AB的垂直平分線上，點M在線段AB的垂直平分線上，
∴MN是線段AB的垂直平分線，
∴MN垂直平分AB．…．（6分）

（2）∵MN是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵△ADC的周長為10，AB=7，
∴AC+AD+CD=10，
∴△ABC的周長為：AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+（AC+CD+AD）=10+7=17．…（9分）

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質與判定．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．