Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，PA與⊙O相切于點A，C是⊙O上的點，CM⊥OB于M，連接PC，
（1）若M是OB的中點，求弧BC的長；
（2）若PO=，OM=3，求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由M為OB的中點，根據半徑OB的長求出OM的長，在直角三角形OCM中，得到直角邊OM為斜邊OC的一半，可得出∠OCM=30°，進而求出弧BC所對圓心角∠BOC=60°，利用弧長公式即可求出弧BC的長；
（2）過C作CN垂直于PA，可得出四邊形AMCN為矩形，得到AM=CN，AN=CM，在直角三角形OCM中，由OC及OM，利用勾股定理求出CM的長，即為AN的長，在直角三角形APO中，由PO與AO的長，利用勾股定理求出PA的長，再由PA-AN求出PN的長，在直角三角形PCN中，由CN與PN的長，利用勾股定理求出PC的長，發現PA=PC，再由OA=OC，公共邊OP，利用SSS得出三角形APO與三角形CPO全等，由全等三角形的對應角相等得到∠OCP=∠OAP=90°，即可得到PC為圓O的切線，得證．
解答：（1）解：連接OC，
∵圓O直徑AB=10，
∴半徑OB=OA=OC=5，
又∵M為OB的中點，
∴OM=BM=2.5，
在Rt△OCM中，OC=5，OM=2.5，
∴OM=OC，
∴∠OCM=30°，
∴∠BOC=60°，又半徑為5，
則弧BC的長l==；
（2）證明：過C作CN⊥AP，交AP于點N，
∵PA為圓O的切線，
∴PA⊥OA，又CM⊥AB，
∴∠NAM=∠AMC=∠ANC=90°，
∴四邊形AMCN為矩形，
在Rt△OCM中，OC=5，OM=3，
根據勾股定理得：CM==4，
∴AM=CN=OA+OM=5+3=8，AN=CM=4，
在Rt△AOP中，OP=5，OA=5，
根據勾股定理得：AP==10，
∴PN=PA-AN=10-4=6，
在Rt△PNC中，CN=8，PN=6，
根據勾股定理得：PC==10，
∴PA=PC=10，
在△PAO和△PCO中，
∵，
∴△PAO≌△PCO（SSS），
∴∠OCP=∠OAP=90°，
則PC為圓O的切線．
點評：此題考查了切線的判定與性質，勾股定理，矩形的判定與性質，以及弧長的計算，熟練掌握切線的性質與定理是解本題的關鍵．