Question

如圖，Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°．將Rt△AOC繞OC中點E按順時針方向旋轉180°后得到Rt△BCO，BO、CO恰好分別在y軸、x軸上．再將Rt△BCO沿y軸對折得到Rt△BDO．取BC中點F，連接DF，交AB于點G，將△BDG沿DF對折得到△KDG．直線DK交AB于點H．
（1）填空：CE：ED=______，AB：AC=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據E是OC的中點，OD=OC即可求得CE：ED的值；在直角△AOC中，設AC=a，則OA=2a，OC=a，作AM⊥y軸，則在直角△ABM中，利用三角函數即可利用a表示得到AB的長，從而求得AB：AC的值；
（2）易證△BDF∽△GBF∽△GDH，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得OD，OB的長度，即B、D的坐標，利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（3）首先利用待定系數法求得拋物線的解析式，△BDQ的面積S可以表示成x的函數，然后根據函數的性質即可求得最值．
解答：解：（1）在直角△AOC中，設AC=a，則OA=2a，OC=a，
∵E是OC的中點，
∴OE=CE=OC，
又∵OD=OC
∴ED=3OE，
則CE：ED=3：1；
作AM⊥y軸，則AM=OC=a，OM=AC=a，
∴BM=OB+OM=2a，
在直角△ABM中，AB===a，
則AB：AC=：1；

（2）連接EF，
∵F是BC的中點，E是OC的中點，
∴EF=OB=AC=a，ED=a，∠FEO=90°
在直角△EFD中，DF==a，
∴DF=AB，
又∵AC=BF，BC=BD
∴△ABC≌△FDB，
∴∠ABC=∠FDB，
又∵∠FBD=∠GFB
∴△BDF∽△GBF
∵∠GDH=∠FDB=∠CBA，
∠FGB=∠HGD
∴△GBF∽△GDH
設OB=2x，則BH=x
∴x=
∴BO=2，DO=6，
∴y=-x+2   

（3）OE=DO=3，則E的坐標是（-3，0），D的坐標是（6，0），B的坐標是（0，2），
設拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，
則，
解得：
則拋物線解析式：y=-x²+x+2
設△BDQ的面積為S，則S=-x²+x 
當x=3時，S取最大值，Q（3，2）．
點評：本題考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，以及全等三角形的判定與性質，二次函數的最值，是一個綜合性較強的題目．