Question

如圖，在⊙O中，AB為直徑，半徑OE⊥AB，M為半圓上任意一點，過M作⊙O的切線交OE的延長線與P，過A作弦AC∥MP，連MB、BC，BM交OP于N點．
（1）求證：MP=PN；
（2）已知AC=4，PE=1，求sin∠ABC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM交AC于H，根據切線性質得出∠PMO=90°，求出∠PMN=∠PNM，根據等腰三角形判定推出即可；
（2）求出AH值，證△AHO∽△OMP，得出比例式，即可求出圓的半徑，求出AB，解直角三角形求出即可．
解答：（1）證明：連接OM交AC于H，
∵PM切⊙O于M，
∴∠PMO=90°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠ONB+∠OBN=90°，∠PMN+∠OMN=90°，
∵OM=OB，
∴∠OMN=∠OBN，
∵∠PNM=∠BNO，
∴∠PMN=∠PNM，
∴MP=PN；

 （2）設⊙O的半徑為R，
∵AC∥PM，∠PMO=90°，
∴OM⊥AC，
∴由垂徑定理得：AH=CH=AC=2，
∴∠OHA=90°=∠PMO，
∵OH⊥AC，
∴∠AHO=∠EOA=90°，
∠A+∠AOH=90°，∠AOH+∠HOP=90°，
∴∠A=∠POM，
∵∠AHO=∠PMO，
∴△AHO∽△OMP，
∴=，
∴=，
R=1+，R=1-（半徑不能為負數，舍去），
∴AB=2R=2+2，
sin∠ABC===-1．
點評：本題考查了切線性質，等腰三角形的性質和判定，垂徑定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．