Question

已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC為邊在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，連CD、BE交于F，連AF。

（1）①如圖1，若∠BAD=60°，則∠AFE= 度；

②如圖2，若∠BAD=90°，則∠AFE= 度；

（2）如圖3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度數（用a表示），并予以證明。

Answer 1

（1）60，45．（2）∠AFE=90°-α°．

【解析】

試題分析：過點A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，求出∠DAC=∠BAE，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據全等三角形對應邊上的高相等可得AM=AN，全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠ADC，再求出∠DAM=∠BAN，然后求出∠MAN=∠BAD，利用“HL”證明Rt△AMF和Rt△ANF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠MAF=∠NAF，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠AFE，然后代入數據計算即可得解．

試題解析：如圖，過點A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，

，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴AM=AN，∠ABE=∠ADC，

∴∠DAM=∠BAN，

∴∠MAN=∠BAE+∠BAD-∠DAM-∠EAN，

=∠BAE+∠BAD-∠BAN-∠EAN，

=∠BAE+∠BAD-∠BAE，

=∠BAD，

在Rt△AMF和Rt△ANF中，

，

∴Rt△AMF≌Rt△ANF（HL），

∴∠MAF=∠NAF=∠BAD，

在Rt△AEN中，∠AFE=90°-∠NAF=90°-∠BAD，

（1）①若∠BAD=60°，則∠AFE=90°-×60°=60°；

②若∠BAD=90°，則∠AFE=90°-×90°=45°；

（2）若∠BAD=a°，則∠AFE=90°-α°．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.等腰三角形的性質．