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已知△ABC,∠BAC=45°,以AB、AC為邊在△ABC外作等腰△ABD和△ACE,AD=AB、AE=AC,且∠BAD=∠CAE,連CD、BE交于F,連AF。

(1)①如圖1,若∠BAD=60°,則∠AFE= 度;

②如圖2,若∠BAD=90°,則∠AFE= 度;

(2)如圖3,若∠BAD=a°,猜想∠AFE的度數(用a表示),并予以證明。

(1)60,45.(2)∠AFE=90°-α°.

【解析】

試題分析:過點A作AM⊥CD于M,作AN⊥BE于N,求出∠DAC=∠BAE,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等,根據全等三角形對應邊上的高相等可得AM=AN,全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠ADC,再求出∠DAM=∠BAN,然后求出∠MAN=∠BAD,利用“HL”證明Rt△AMF和Rt△ANF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠MAF=∠NAF,再根據直角三角形兩銳角互余求出∠AFE,然后代入數據計算即可得解.

試題解析:如圖,過點A作AM⊥CD于M,作AN⊥BE于N,

∵∠BAD=∠CAE,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

即∠DAC=∠BAE,

在△ABE和△ADC中,

∴△ABE≌△ADC(SAS),

∴AM=AN,∠ABE=∠ADC,

∴∠DAM=∠BAN,

∴∠MAN=∠BAE+∠BAD-∠DAM-∠EAN,

=∠BAE+∠BAD-∠BAN-∠EAN,

=∠BAE+∠BAD-∠BAE,

=∠BAD,

在Rt△AMF和Rt△ANF中,

∴Rt△AMF≌Rt△ANF(HL),

∴∠MAF=∠NAF=∠BAD,

在Rt△AEN中,∠AFE=90°-∠NAF=90°-∠BAD,

(1)①若∠BAD=60°,則∠AFE=90°-×60°=60°;

②若∠BAD=90°,則∠AFE=90°-×90°=45°;

(2)若∠BAD=a°,則∠AFE=90°-α°.

考點:1.全等三角形的判定與性質;2.等腰三角形的性質.

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C. D.

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