Question

△ABC中，D為AC邊中點，∠EDF=90°，tan∠B=，若FC=5，EF=，則AE=    ．

Answer 1

【答案】分析：延長ED到Q，使ED=DQ，連接CQ，FQ，過Q作QH⊥BC于H，得出EF=FQ，證△AED≌△CQD，推出AE=CQ，求出CQ∥AB，得出∠B=∠QCH，設QH=3a，CH=4a，在△QFH中，根據勾股定理求出a，即可求出CH和QH，根據勾股定理求出即可．
解答：解：
如圖，延長ED到Q，使ED=DQ，連接CQ，FQ，過Q作QH⊥BC于H，
∵在△AED和△CQD中
，
∴△AED≌△CQD（SAS），
∴AE=CQ，∠EAC=∠DCQ，
∴CQ∥AB，
∴∠QCH=∠B，
∵tanB=，
∴tan∠QCH==，
設QH=3a，CH=4a，
∵ED=DQ．∠EDF=90°，
∴QF=EF=3，
在Rt△FQH中，由勾股定理得：（3）²=FH²+QH²，CQ²=CH²+QH²，
∴（3）²=（5+4a）²+（3a）²，
5a²+8a-13=0
解得：a=1，a=-（舍去），
即CH=4，QH=3，
∵CQ²=CH²+QH²，
∴CQ=5，
即AE=5．
故答案為：5．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，線段垂直平分線性質，勾股定理，平行線的性質和判定，解直角三角形等知識點的綜合運用，主要考查學生的推理能力，此題難度偏大．