Question

用一副三角板拼成如圖①所示的四邊形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，AD=DC=4

2

cm．若把△ADC的頂點C沿CB所在射線滑動，頂點A始終不離開AC，如圖②所示，當點D運動到與C點重合時，即停止運動，如圖③所示．

（1）如圖②所示，C′D與AC交于點M，求證：△CC′M∽△A′DM；
（2）運動結束時（如圖③）的頂點A沿AC下滑了多少？
（3）△ADC在滑動過程中，△CC′M與△A′DM能否全等？如果能，求此時AA′的長；如果不能，請說明理由；
（4）△ADC在滑動過程中，A′C′與AB能否平行？如果能，求此時AA′的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）所求的兩個三角形中，已知對頂角∠C′MC=∠A′MD，一組直角∠C=∠D=90°，即可證得所求的結論．
（2）在Rt△ADC中，易求得斜邊AC的長，那么AC、AD的差即為A點下滑的距離．
（3）若兩個三角形全等，那么C′M=A′M，此時∠MC′A′=∠MA′C′，即∠MA′C′=45°，顯然∠MA′C′＜45°，因此兩個三角形不可能全等．
（4）當∠MC′C=∠DA′M=15°時，∠A′C′D=60°，∠C′A′C=30°，此時A′C′∥AB；在Rt△A′C′C中，根據∠A′C′C的度數及A′C′（即AC）的長，可求得A′C的值，進而可由AA′=AC-A′C得解．

解答：解：（1）如圖②，∵∠C=∠D=90°，∠CMC′=∠DMA′，
∴△CC′M∽△A′DM．（2分）

（2）如圖①，在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=DC=4

2

cm，∴AC=8cm；（4分）
如圖③，AA′=AC-A′D=（8-4

2

）cm．（5分）

（3）不可能全等．（6分）
理由如下：根據對應關系可知，如果全等必為△CC′M≌△A′DM，
即C′M=A′M，則∠C′A′M=∠A′C′M=45°；
∵∠MA′C′＜45°，∴不可能全等．（8分）

（4）A′C′與AB能平行．（9分）
∵AC′∥AB，
∴∠A′C′M=∠B=60°，則A′C=4

3

cm；
∴AA′=AC-A′C=（8-4

3

）cm．（12分）

點評：此題考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定、全等三角形的性質以及平行線的判定等知識，難度適中．