Question

【題目】已知是的外接圓，AD為的直徑，，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點D作，交于點G，點H為GD的中點，連接OH，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若的面積為，求線段CG的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）CG=．

【解析】

（1）先推出∠BAD=∠CAD，然后根據圓周角定理可得出∠BOD=2∠BAD=2∠CAD，根據∠BOD=∠AOF，可得出∠AOF=2∠CAD，根據∠BFC=∠AOF+∠CAD，即可證明結論；

（2）連接OG，證明△OBE≌△DOH，即可證明結論；

（3）連接AG，過A點作AM⊥CG于點M，過F點作FN⊥AD于點N，先推出DE=2OE，設OE=m，則DE=2m，OB=OD=OA=3m，AE=4m，根據勾股定理得出CE=BE=，再求出tan∠BOE===，tan∠EAC===，根據tan∠AOF=tan∠BOE=，得出=，設ON=a，則NF=a，可得tan∠EAC=，解出AN，根據AN+NO=AO，解出a=m，再根據S△AOF=·OA·FN=，可求出m=1，可得出DH=1，OD=3， BE=CE=OH=，AE=4，根據勾股定理可得AC=，根據OD=OA，DH=HG，得出AG=2OH=，推出cos∠ADG=cos∠ACM，即可求出CM=，利用勾股定理可得AM=，GM=，即可得出答案．

解：（1）∵AD為的直徑，，

∴，BE=CE，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=2∠CAD，

∵∠BOD=∠AOF，

∴∠AOF=2∠CAD，

∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，

∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；

（2）連接OG，

∵點H為GD的中點，OG=OD，

∴DH=GH，OH⊥DG，

∵AD⊥BC，

∴∠AEB=∠OHD=90°，

∵DG∥BF，

∴∠BOH=∠OHD=90°，

即∠DOH+∠BOD=90°，

∵∠BOD+∠OBE=90°，

∴∠OBE=∠DOH，

又∵OB=OD，

∴△OBE≌△DOH，

∴BE=OH；

（3）如圖，連接AG，過A點作AM⊥CG于點M，過F點作FN⊥AD于點N，

由（2）可知DH=OE，

∵DG=2DH=2OE，DG=DE，

∴DE=2OE，

設OE=m，則DE=2m，

∴OB=OD=OA=3m，

∴AE=4m，

在Rt△OBE中，BE==，

∴CE=BE=，tan∠BOE===，tan∠EAC===，

∵tan∠AOF=tan∠BOE=，

∴=，

設ON=a，則NF=a，

∴tan∠EAC=，

∴AN=4a，

∵AN+NO=AO，

∴4a+a=3m，

∴a=m，

∴FN=×m=m，

∵S△AOF=·OA·FN=，

∴·3m·m=，

∴m2=1，

∴m=±1，

∵m>0，

∴m=1，

∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH=，AE=4，

在Rt△AEC中AC=，

∵OD=OA，DH=HG，

∴AG=2OH=，

∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，

∴∠ADG=∠ACM，

∴cos∠ADG=cos∠ACM，

∴，

∴，

∴CM=，

在Rt△ACM中，AM==，

在Rt△AGM中，GM==，

∴CG=GM-CM=．