Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊c=5，兩直角邊的長a，b是關于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的兩個根，求Rt△ABC中較小銳角的正弦值．

Answer 1

∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，
而a²+b²=（a+b）²-2ab，c=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，
即：m²-2（2m-2）=25
解得，m₁=7，m₂=-3，
∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊的長．
∴a+b=m＞0，m=-3不合題意，舍去．
∴m=7，
當m=7時，原方程為x²-7x+12=0，
解得，x₁=3，x₂=4，
不妨設a=3，則sinA=

a

c

=

3

5

，
∴Rt△ABC中較小銳角的正弦值為

3

5

．