Question

（2005•泰州）如圖，AB切⊙O于點B，OA交⊙O于C點，過C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知DB、DC都是⊙O的切線，由切線長定理可得DB=DC，那么結合已知條件則有：DC：AD=1：2；即Rt△ACD中，sinA=，由此可求出∠A的度數，進而可的∠A的正切值．
（2）連接OB．在構建的含30°角的Rt△OBA中，已知了OB=OC=1，可求出AB的長及∠BOC的度數；進而可根據弧長公式求出弧BC的長．
解答：解：（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC為半徑．
∴DC為⊙O的切線；
∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=，BD：AD=1：2，
∴sinA=；∴∠A=30°，
∴tanA=．
（方法二）∵DC⊥OA，OC為半徑．
∴DC為⊙O的切線；
∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴設CD=k，AD=2k；
∴AC=k；
∴tanA==．

（2）連接OB；
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=，OB=1；
∴AB=
∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴的長=．
點評：掌握切線的判定方法，綜合運用切線長定理、勾股定理以及銳角三角函數的概念進行計算；熟悉30°的直角三角形的性質以及弧長公式．