Question

【題目】已知拋物線，通過畫圖發現，無論b取何值，拋物線總會經過兩個定點；

（1）直接寫出這兩個定點的坐標________ ，_________；

（2）若將此拋物線向右平移單位，再向上平移(b>0）個單位，平移后的拋物線頂點都在某個函數的圖象上，求這個新函數的解析式（不必寫自變量取值范圍）；

（3）若拋物線與直線y=x–3有兩個交點A與B，且，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（0，-3），（-1，0）；（2）；（3）或

【解析】

（1）y＝bx2＋（b3）x3＝b（x2＋x）3x3，函數過定點，則x2＋x＝0，即可求解；

（2）原拋物線頂點坐標為（，），平移后為（，），即可求解；

（3）根據題意分b＞0和b＜0，根據AB的長分別求出B點坐標，代入求出相應b的取值即可求解．

解：（1）y＝bx2＋（b3）x3＝b（x2＋x）3x3，

函數過定點，則x2＋x＝0，

解得x＝0或x=1，

∴拋物線總會經過兩個定點（0，3）、（1，0），

故答案為（0，3）、（1，0）；

（2）原拋物線頂點橫坐標為：，

縱坐標為：，

即（，），

平移后新拋物線頂點橫坐標為：，縱坐標為：，即（，）

∴

∴

即為平移后的拋物線頂點所在的函數解析式為：；

（3）由與直線y=x–3交于點A（0，-3）

當b>0時，如圖當AB=時，

過點A作AM∥x軸，BM∥y軸交于點M

∵AM⊥BM，∠BAM=45°，AB=

∴MA=MB=ABsin45°=1，

∴B(1，-2)

把B(1，-2)代入y=bx2+(b–3)x–3

得b=2．

AB=時，作BM⊥x軸交于點M

同理得AM=BM=4

∴B（4，1）

把B(4，1)代入y=bx2+(b–3)x–3 得b=，

．

當時，，同理可得，

代入，x無解；

當，同理可得B（-4，-7）

代入解得

∴，

綜上，b的取值為或．