Question

如圖，經過原點的拋物線與軸的另一個交點為A．過點作直線軸于點M，交拋物線于點B，過點B作直線BC∥軸與拋物線交于點C（B、C不重合），連結CP．

（1）當時，求點A的坐標及BC的長；

（2）當時，連結CA，問為何值時？

（3）過點P作且，問是否存在，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并求出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）A(-4，0)，BC=2；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）把m=2代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點的橫坐標，再求出拋物線的對稱軸方程，進而求出BC的長；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據相似的性質得到，再用含有m的代數式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本題要分當m＞1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當0＜m＜1時，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標．

（1）當m=2時，，

令y=0，得，∴

∴A(-4，0)   

當x=-1時，y=3，∴B（-1，3）

∵拋物線的對稱軸為直線x=-2，

又∵B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=2．

∴           

∴∴；

（3）∵B，C不重合，∴m≠1．（I）當m＞1時，BC=2(m-1),PM=m,   BP=m-1.

(i)若點E在x軸上（如圖1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE＋∠BPC=∠MPE＋∠MEP=90°，

∴∠BPC=∠MEP．  又∵∠CPB=∠PME=90°，PC=EP

∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM,      ∴2（m－1）=m，

∴m=2,此時點E的坐標是（-2，0）．

（II）當0＜m＜1時，BC=2（1－m），PM=m，   BP=1－m,

（i）若點E在x軸上， 易證△BPC≌△MEP，∴BC=PM，

∴2（1－m）=m,∴，此時點E的坐標是；

考點：函數的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．