Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG．
（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；
（2）設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，作出圖示；分析可得：AM=8，且△ADE∽△ABC，進而可得，解可得答案．
（2）分兩種情況：①當正方形DEFG在△ABC的內部時，②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，依據平行線以及正方形的性質，可得二次函數，再根據二次函數的性質，解可得重合部分的面積，比較可得面積的最大值．
解答：解：
（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖（1），過點A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M．
∵S_△ABC=48，BC=12，∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴，
而AN=AM-MN=AM-DE，∴，
解之得DE=4.8．∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為4.8，

（2）分兩種情況：
①當正方形DEFG在△ABC的內部時，
如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，
∵DE=x，∴y=x²，
此時x的范圍是0＜x≤4.8，
②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，
如圖（3），設DG與BC交于點Q，EF與BC交于點P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
即，而AN=AM-MN=AM-EP，
∴，解得EP=8-x．
所以y=x（8-x），即y=-x²+8x，
由題意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積需分兩種情況討論，
當0＜x≤4.8時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.8²=23.04，
當4.8＜x＜12時，因為，
所以當時，
△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為二次函數的最大值：y_最大=-×6²+8×6=24；
因為24＞23.04，
所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24．
點評：本題主要考查了二次函數，平行線以及正方形的性質等知識點，要根據題意，得到二次函數關系，再根據二次函數的性質，即可得答案．