Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC．連結DE，DE=.

(1) 求證：；

(2) 求EM的長；

（3）求sin∠EOB的值.

Answer 1

解：⑴ 連接AC，EB，則∠CAM=∠BEM.

又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．

∴　，即．

(2) ∵DC為⊙O的直徑，

∴∠DEC=90°，EC=  

∵OA=OB=4，M為OB的中點，∴AM=6，BM=2．

設EM=x，則CM=7－x．代入(1),得 .

解得x₁=3，x₂=4．但EM＞MC，∴EM=4.

(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，則OF=MF=OB=1．

在Rt△EOF中，EF=　

∴sin∠EOB=.