Question

已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點E與點F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求四邊形AEOF的面積．
（2）設AE=x，S_△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式，求x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45°，再根據全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根據S_{四邊形AEOF}=S_△AOB即可得出答案；
（2）先根據圓周角定理求出∠BAC=90°，再根據y=S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF即可得出答案．

解答：解：（1）∵BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC，
∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，
又∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S_{四邊形AEOF}=S_△AOB=

1

2

OB•OA=2．

（2）∵BC為半圓O的直徑，
∴∠BAC=90°，且AB=AC=2

2

，
y=S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF=2-

1

2

AE•AF=2-

1

2

x（2

2

-x）
∴y=

1

2

x²-

2

x+2（0＜x＜2

2

）．

點評：本題考查的是圓周角定理、全等三角形的判定與性質、三角形的面積，涉及面較廣，難度適中．