Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5．E為底邊BC上一動點，點F在線段DE上，始終保持BE=EF=x，連接AF，BF．
（1）當點E運動到使∠DEC=45°時，則線段DF的長為______．
（2）當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，求x的值為______．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點D作DH⊥BC于H，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，
∴∠BAD=∠ABH=∠BHD=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴DH=AB=4，BH=AD=5，
∴EH=BH-BE=5-x，
∵∠DEC=45°，
∴DH=EH，DE==4，
即5-x=4，
解得：x=1，
∴EF=1，
∴DF=DE-EF=4-1；

（2）由（1）得：DE==，
如圖2：連接AE，
當AF=AB=4時，
在△ABE和△AFE中，
∵，
∴△ABE≌△AFE（SSS），
∴∠AFE=∠ABE=90°，
即AF⊥DE，
在Rt△AFD中，DF==3，
∵DE-EF=DF，
∴-x=3，
解得：x=2；
如圖3，當FA=FB時，過點F作FQ⊥AB于Q，
∴AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF，
即-x=x，
解得：x=（負值舍去）；
綜上所述，當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，x=2或．
故答案為：（1）4-1；（2）2或．
分析：（1）過點D作DH⊥BC于H，易得四邊形ABHD是矩形，即可得DH=AB=4，BH=AD=5，由∠DEC=45°，易得△DEH是等腰直角三角形，可得DH=EH，則可得方程5-x=4，解此方程即可求得答案EF的長，繼而求得線段DF的長；
（2）分別從AF=AB與AF=BF去分析求解，注意利用方程思想求解，即可求得答案．
點評：此題考查了直角梯形的性質、等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意輔助線的作法，注意數形結合思想、方程思想與分類討論思想的應用．