Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．

（1）求拋物線的解析式．
（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長．
（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3

（2）解：設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

，

解得 ；

故直線BC的解析式：y=﹣x+3．

已知點M的橫坐標為m，MN∥y，則M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）解：如圖：

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MNOB，

∴S△BNC= （﹣m2+3m）3=﹣ （m﹣ ）2+ （0＜m＜3）；

∴當m= 時，△BNC的面積最大，最大值為 ．

【解析】（1）觀察已知點坐標的特點，可設函數解析式為兩根式，將點的坐標代入即可求出函數解析式。
（2）先求出直線BC的函數解析式，抓住MN∥y軸，點M是線段BC上，點N在拋物線上，告訴了點M的橫坐標為m，因此可以表示出點M、N的坐標，就可以用m的代數式表示MN的長．
（3）先求出S△BNC與x的函數關系式，再求出此二次函數的頂點坐標，即可求出結果。