Question

已知四邊形ABCD中，AD+DB+BC=16，則四邊形ABCD的面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先畫圖，由于S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，那么當∠ADB=∠BCD=90°時，S_△ABD、S_△BCD有最大值，也就是四邊形ABCD有最大值，再結合AD+DB+BC=16，可求S_{四邊形ABCD}=8BD-BD²，再利用二次函數的求最值問題，即可求四邊形ABCD的面積．
解答：解：如右圖所示，連接BD，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
S_△ABD=AD•BDsin∠ADB，
S_△BCD=BD•BCsin∠BCD，
∴當∠ADB=∠BCD=90°時，S_△ABD、S_△BCD有最大值，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=AD•BD+BD•BC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S_{四邊形ABCD}=BD（16-BD）=8BD-BD²，
∵a=-＜0，
∴當BD=-=8時，四邊形ABCD的面積有最大值==32．
故四邊形ABCD的最大面積是32．
點評：本題考查了四邊形面積的計算、二次函數的性質．已知兩邊和夾角，可利用夾角的正弦來求面積．要使三角形面積最大，則夾角應等于90°．