Question

（本題滿分14分）如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD邊上的點 M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連接EP．
⑴如圖②，若M為AD邊的中點，①△AEM的周長=____    _cm；②求證：EP=AE+DP；

⑵隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置(點M不與A、D重合)，△PDM的周長是否發生變化?請說明理由．

Answer 1

⑴①6………………………………………………………………………………2分
②證明：取EP中點G，連接MG，在梯形AEPD中
∵M、G分別為AD、EP的中點
∴……………………………………………………4分
由折疊，得∠EMP=∠B=90°
又G為EP的中點
∴MG=EP………………………………………………………………6分
∴EP="AE+DP" ……………………………………………………………7分
⑵△PDM的周長保持不變 ……………………………………………………8分
證明：設AM=xcm，則DM=（4－x）cm …………………………………9分
Rt△EAM中，由
…………………………………………………10分
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分
∴………………………………………………………13分
即
∴……………………………………14分
∴△PDM的周長保持不變．

略