Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN．

（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC；

（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析； （2）結論仍成立．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據含30°角的直角三角形的性質進行證明；

（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根據角平分線的性質，得CE=CF，根據等角的補角相等，得∠CDE=∠ABC，再根據AAS得到△CDE≌△CBF，則DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，從而根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立．

試題解析：（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠CAD=∠CAB=60°．

又∠ABC=∠ADC=90°，

∴AD=AC，AB=AC，

∴AB+AD=AC．

（2）【解析】
結論仍成立．理由如下：

作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．則∠CED=∠CFB=90°，

∵AC平分∠MAN，

∴CE=CF．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°

∴∠CDE=∠ABC，

在△CDE和△CBF中，

，

∴△CDE≌△CBF（AAS），

∴DE=BF．

∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，

在Rt△ACE與Rt△ACF中，則有AE=AC，AF=AC，

則AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．

∴AD+AB=AC．

考點：1.含30度角的直角三角形；2.全等三角形的判定與性質；3.角平分線的性質．