Question

已知從1開始連續n個自然數相乘，1×2×3×…×n，乘積的尾部恰有25個連續的零，那么n的最大值是？

Answer 1

分析：首先5、10、15、20、25、…、105與其它偶數之積的個位至少有一個0，105÷5=21個，105÷25=4個…5，21+4=25個，即連續自然數乘積1×2×3×…×105的尾部恰有25個連續的0，所以1×2×3×…×n中，n的最大值是105+4=109．

解答：解：凡末位是0的數，都為乘積的尾部貢獻1個0，2×5=10，每10個連續數中，這樣就為乘積貢獻了2個零．
從1到100，乘積就有了20個0，但還有25、50、75和100，都可再貢獻1個0，這樣就有了24個0．
要再出現1個0，即湊成25個0，還必須出現1個5（因為2有的是），所以到105恰有乘積末尾恰有25個連續的0．
但此題問的是n的最大值，也就是說，最大到幾不會出現第26個0，顯然，是到109． 
故n的最大值是109．

點評：考查了質因數分解，明確若干個連續自然數的乘積末尾有多少個零，是由多少個因數5決定的是完成本題的關鍵．