Question

如圖，在△ABC中，∠B=30°，以邊AB的中點O為圓心，BO長為半徑作⊙O，恰好過頂點C．在半圓AB上取點D，連接CD．
（1）∠ACB的度數(shù)為______°，理由是______．
（2）在半圓AB上取中點D，連接CD．若AC=6，補全圖形并求CD的長．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，⊙O過點C，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．

（2）分兩種情況討論：
①C、D兩點在直徑AB異側(cè)，連接BD，過B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=AC=6．
∵在半圓AB上取中點D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC=3．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠D=∠A=60°，
∴DE=BE=3，
∴CD=CE+DE=3+3；

②C、D兩點在直徑AB同側(cè)，
連接BD，過B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=AC=6．
∵在半圓AB上取中點D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC=3．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=∠A=60°，
∴DE=BE=3，
∴CD=CE-DE=3-3．
故答案為：90，直徑所對的圓周角是直角．
分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可求出∠ACB的度數(shù)；
（2）分兩種情況討論：①C、D兩點在直徑AB異側(cè)；②C、D兩點在直徑AB同側(cè)．
點評：本題考查了圓周角定理，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形及分類討論是解題的關(guān)鍵．