Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，DE⊥BC，垂足為點E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數量關系是______

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據直角三角形斜邊上中線性質得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；
（2）根據旋轉的性質得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則可根據“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC-BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
（3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，則BF-BP=BC，所以BF-BP=DE．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵點D是AB的中點，
∴DB=DC，
∴△DCB為等邊三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=BC；
故答案為DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由如下：
∵線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=BC，
∴BC=DE，
∴BF+BP=DE；

（3）如圖，
與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC，
∴BF-BP=DE．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．