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已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O交AC于點D,連接BD.
(1)如圖1,若BD:CD=3:4,AD=3,求⊙O的直徑 AB的長;
(2)如圖2,若E是BC的中點,連接ED,請你判斷直線ED與⊙O的位置關系,并證明你的結論.
【答案】分析:(1)證得△ADB∽△BDC,結合已知比例求得BD=4,在Rt△ABD中,從而得到AB的長;(2)連接OD,E是BC的中點,DE=BE,∠EDB=∠EBD.由∠OBD+∠EBD=90°,得到∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°,即得證.
解答:解:(1)如圖,∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
則∠CDB=∠ADB=90°.
∴∠C+∠CBD=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBD=90°.
∴∠C=∠ABD.
∴△ADB∽△BDC.

∵BD:CD=3:4,AD=3,
∴BD=4.
在Rt△ABD中,AB=;(3分)

(2)直線ED與⊙O相切.
證明:如圖,連接OD.
由(1)得∠BDC=90°.
∵E是BC的中點,
∴DE=BE=BC,
∴∠EDB=∠EBD,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°.
∵點D在⊙O上,且OD⊥DE
∴ED是⊙O的切線. (5分)
點評:本題考查了相似三角形的判定和性質,(1)求得BD=4,在Rt△ABD中,從而得到AB的長;(2)即證明∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°即得證.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,以AB邊所在的直線為軸,將△ABC旋轉一周,則所得幾何體的表面積是(  )
A、
168
5
π
B、24π
C、
84
5
π
D、12π

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22、如圖所示,已知Rt△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD延長線于E,BA、CE延長線相交于F點.
求證:(1)△BCF是等腰三角形;(2)BD=2CE.

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25、已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,兩直角邊AC、BC的長是關于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的兩個實數根.求m的值及AC、BC的長(BC>AC).

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10、如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°∠A=36°,以C為圓心,CB為半徑的圓交AB于P,則弧BP的度數是
72
°.

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已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點D在BC的延長線上,點E在AC上,且CD=CE,延長BE交AD于點F,求證:BF⊥AD.

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同步練習冊答案
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