Question

已知：如圖，△ABC是邊長為3cm等邊三角形，動點P、Q分別同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，點P速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s），
（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可以知道這個直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ與PB的關系，要分情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據BP，BQ的表達式和∠B的度數進行求解即可．
（2）根據等邊三角形的性質可得方程3-t=2t，解方程求解即可．

解答：解：（1）根據題意得AP=tcm，BQ=2tcm，
∵在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
在△PBQ中，BP=3-t，BQ=2t，若△PBQ是直角三角形，則
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
當∠BQP=90°時，BQ=

1

2

BP，
即2t=

1

2

（3-t），t=0.6（秒），
當∠BPQ=90°時，BP=

1

2

BQ，
3-t=

1

2

×2t，t=1.5（秒）．
答：當t=0.6秒或t=1.5秒時，△PBQ是直角三角形．

（2）假設在點P與點Q的運動過程中，△BPQ能成為等邊三角形，則
BP=PQ=BQ，
即3-t=2t，
解得t=1．
故當t=1時，△BPQ是個等邊三角形．

點評：本題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理、等邊三角形的性質，動點問題等知識點．