Question

如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點O，AO=CO，過項點A的直線交BD于點P，交CD于點Q，并交BC的延長線于點R．
（1）△PAB與△PQD相似嗎？說明你有理由．
（2）結論

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立嗎，若成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）若要證明△PAB與△PQD相似，可轉化為證明AB∥CD，即證明四邊形ABCD是平行四邊形即可；
（2）結論

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立，由（1）可知四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，所以△APB∽△QPD，△APD∽△RPB，利用相似三角形的性質：得到關于PQ，PR，PD，PB的比例式，即可證明結論成立．

解答：解：（1）△PAB與△PQD相似，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，
∵AO=CO，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△PAB∽△PQD；

（2）結論

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△APB∽△QPD，
∴

PQ

AP

=

PD

BP

①，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△RPB，
∴

PR

AP

=

BP

PD

②，
∴①÷2得：

PQ

PR

=

PD2

PB2

．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質、相似是三角形的判定和性質以及比例式的證明，題目的技巧性很強．