Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線y=﹣x+4和點M（3，2）

（1）判斷點M是否在直線y=﹣x+4上，并說明理由；

（2）將直線y=﹣x+4沿y軸平移，當它經過M關于坐標軸的對稱點時，求平移的距離；

（3）另一條直線y=kx+b經過點M且與直線y=﹣x+4交點的橫坐標為n，當y=kx+b隨x的增大而增大時，則n取值范圍是　　．

Answer 1

【答案】（1）點M（3，2）不在直線y=﹣x+4上，理由見解析；（2）平移的距離為3或5；（3）2＜n＜3．

【解析】

（1）將x=3代入y=-x+4，求出y=-3+4=1≠2，即可判斷點M（3，2）不在直線y=-x+4上；

（2）設直線y=-x+4沿y軸平移后的解析式為y=-x+4+b．分兩種情況進行討論：①點M（3，2）關于x軸的對稱點為點M1（3，-2）；②點M（3，2）關于y軸的對稱點為點M2（-3，2）．分別求出b的值，得到平移的距離；

（3）由直線y=kx+b經過點M（3，2），得到b=2-3k．由直線y=kx+b與直線y=-x+4交點的橫坐標為n，得出y=kn+b=-n+4，k=．根據y=kx+b隨x的增大而增大，得到k＞0，即＞0，那么①，或②，分別解不等式組即可求出n的取值范圍．

（1）點M不在直線y=﹣x+4上，理由如下：

∵當x=3時，y=﹣3+4=1≠2，

∴點M（3，2）不在直線y=﹣x+4上；

（2）設直線y=﹣x+4沿y軸平移后的解析式為y=﹣x+4+b．

①點M（3，2）關于x軸的對稱點為點M1（3，﹣2），

∵點M1（3，﹣2）在直線y=﹣x+4+b上，

∴﹣2=﹣3+4+b，

∴b=﹣3，

即平移的距離為3；

②點M（3，2）關于y軸的對稱點為點M2（﹣3，2），

∵點M2（﹣3，2）在直線y=﹣x+4+b上，

∴2=3+4+b，

∴b=﹣5，

即平移的距離為5．

綜上所述，平移的距離為3或5；

（3）∵直線y=kx+b經過點M（3，2），

∴2=3k+b，b=2﹣3k．

∵直線y=kx+b與直線y=﹣x+4交點的橫坐標為n，

∴y=kn+b=﹣n+4，

∴kn+2﹣3k=﹣n+4，

∴k=．

∵y=kx+b隨x的增大而增大，

∴k＞0，即＞0，

∴①，或②，

不等式組①無解，不等式組②的解集為2＜n＜3．

∴n的取值范圍是2＜n＜3．

故答案為2＜n＜3．