Question

【題目】問題提出：

（1）如圖①，在邊長為8的等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC與AC上，且BD＝2，∠ADE＝60°，則線段CE的長為　 　．

問題

（2）如圖②，已知AP∥BQ，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，D是射線AP上的一個動點（不與點A重合），E是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），EC⊥DE，交射線BQ于點C，且AD+DE＝AB，求△BCE的周長．

問題解決：

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB+CD＝10（AB＜CD），BC＝6，點E為BC的中點，且∠AED＝108°，則邊AD的長是否存在最大值？若存在，請求AD的最大值，并求出此時AB，CD的長度，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）12；（3）存在，AD的最大值為．

【解析】

問題提出（1）證明△ABD∽△DCE，得出＝，即可得出答案；
問題分析（2）設AD=x，AE=y，則DE=6-x，BE=6-y，證明△ADE∽△BEC，得出＝＝，即＝＝，求出BC，CE，得出△BCE的周長=，在Rt△ADE中，結合勾股定理可得出△BCE的周長；
問題解決（3）作出點B關于AE的對稱點M，點C關于DE的對稱點N，連接AM、EM，MN、DN、EN．證明△MNE是等腰三角形，EM=EN=3，得出∠EMN=∠ENM=（180°-36°）=72°，作∠EMN的平分線交EN于P，證出PE=PM=MN，證明△MPN∽△EMN，得出＝，則MN2=EN×PN，設PE=PM=MN=x，則PN=3-x，得出x2=3（3-x），得出MN，由AD≤AM+MN+DN，即可得出答案．

問題提出：

（1）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝8，∠B＝∠C＝60°，

∵BD＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝6，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴＝，即＝，

解得：CE＝；

故答案為：；

問題

（2）解：∵AD+DE＝AB，AB＝6，

∴AD+DE＝6，

設AD＝x，AE＝y，則DE＝6﹣x，BE＝6﹣y，

∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，

∵∠A＝∠B＝90°，∴∠AED+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，∴＝＝，

即＝＝，

解得：BC＝，CE＝，

∴△BCE的周長＝BE+BC+CE＝6﹣y+＝，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：x2+y2＝（6﹣x）2，

整理得：36﹣y2＝12x，

∴△BCE的周長＝＝12；

問題解決：

（3）解：作出點B關于AE的對稱點M，點C關于DE的對稱點N，連接AM、EM，MN，DN，EN．如圖所示：

根據軸對稱的性質可得AM＝AB，BE＝EM，CE＝EN，DN＝CD，∠AEB＝AEM，∠DEC＝∠DMN，

∵∠AED＝108°，

∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣108°＝72°，

∴∠MEN＝∠AED﹣（∠AEM+∠DEN）＝108°﹣72°＝36°，

∵點M是四邊形ABCD的邊BC的中點，

∴BE＝CE＝3，

∴EM＝EN＝3，

∴∠EMN＝∠ENM＝（180°﹣36°）＝72°，

作∠EMN的平分線交EN于P，則∠EMP＝∠NMP＝36°＝∠MEN，∠MPN＝36°+36°＝72°＝∠ENM，

∴PE＝PM＝MN，△MPN∽△EMN，

∴＝，

∴MN2＝EN×PN，

設PE＝PM＝MN＝x，則PN＝3﹣x，

∴x2＝3（3﹣x），

解得：x＝，或x＝（舍去），

∴MN＝，

∵AD≤AM+MN+DN＝AB+CD+MN＝10+＝，

∴AD≤，

∴AD的最大值為．