Question

如圖，點O是等腰△ABC的外心，AD是圓O的切線，切點為A，過點C作CD≡∥AB，交AD于點D．連接AO并延長交BC于點M，連接AD，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=12，BC=8．求PC的長．

Answer 1

分析：（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據切線的判斷得到結論；
（2）根據切線的性質得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據垂徑定理有BM=CM=

1

2

BC=4，根據等腰三角形性質有AC=AB=12，在Rt△AMC中根據勾股定理計算出AM；
設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r在Rt△OCM中，根據勾股定理計算出r，求出CE=2r，OM，利用中位線性質得BE=2OM，然后判斷Rt△PCM∽Rt△CEB，根據相似比可計算出PC．

解答：解：（1）直線PC與圓O相切，理由為：
過C點作直徑CE，連接EB，如圖，
∵CE為直徑，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC與圓O相切；
（2）∵AD是⊙O的切線，切點為A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=4，
∴AC=AB=12，
在Rt△AMC中，AM=

AC2-CM2

=8

2

，
設圓O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=8

2

-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即4²+（8

2

-r）²=r²，
解得：r=

9 2

2

，
∴CE=2r=

18 2

2

=9

2

，OM=8

2

-

9 2

2

=

7 2

2

，
∴BE=2OM=7

2

，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴

PC

CE

=

CM

EB

，
即

PC

9 2

=

4

7 2

∴PC=

36

7

．

點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．