Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，D是AC邊上一點，∠A=36°，∠ADB=108°．
求證：（1）AD=BD=BC；（2）寫出CD與AD的比值．（不用給出解答過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的性質和三角形的內角和可求出所有的角，然后根據角相等得到邊相等．
（2）證明△BCD∽△ABC，再由（1）AD=BD=BC，可得到CD與AD的比值．
解答：證明：（1）在△ADB中，∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴AD=BD．
又∵AB=AC，
∴∠C=（180°-36°）÷2=72°．
而∠BDC=180°-108°=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC．

（2）由（1）知△BDC和△ABC都是頂角為36°的等腰三角形，
所以△BDC∽△ABC，
∴．
又∵AD=BD=BC，AB=AC，
∴AD²=AB•DC=（AD+DC）DC，即DC²+AD•DC-AD²=0，
解關于DC的一元二次方程得DC=AD（負號舍去），
所以．
點評：熟練掌握等腰三角形的判定和性質定理；記住三角形的內角和定理；熟悉三角形相似的判定．了解黃金分割和黃金分割點，記住黃金分割數．