Question

（2008•莆田）已知矩形ABCD和點P，當點P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時，易證得結論：PA²+PC²=PB²+PD²，請你探究：當點P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時，PA²、PB²、PC²和PD²又有怎樣的數量關系請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并利用圖（2）證明你的結論．
答：對圖（2）的探究結論為______；
對圖（3）的探究結論為______；
證明：如圖（2）

Answer 1

【答案】分析：結論均是PA²+PC²=PB²+PD²，其實要求證的是矩形性質中的矩形所在平面內任一點到其兩對角線端點的距離的平方和相等．
根據矩形和直角三角形的性質，（2）如果過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分別用勾股定理表示出PA²，PC²，PB²，PD²，然后我們可得出PA²+PC²與PB²+PD²，我們不難得出四邊形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我們將等式右邊的值進行比較發現PA²+PC²=PB²+PD²．
（3）如圖（3）方法同（2），過點P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，易證．
解答：解：結論均是PA²+PC²=PB²+PD²．
（1）如圖2，過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA²=PM²+MA²，在Rt△BNP中，PB²=PN²+BN²，
在Rt△DMP中，PD²=DM²+PM²，在Rt△CNP中，PC²=PN²+NC²，
∴PA²+PC²=PM²+MA²+PN²+NC²，
PB²+PD²=PM²+DM²+BN²+PN²，
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四邊形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM²+MA²+PN²+NC²=PM²+DM²+BN²+PN²
即PA²+PC²=PB²+PD²．

（2）如圖3，過點P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA²=AO²+PO²，在Rt△PQB中，PB²=PQ²+QB²，
在Rt△POD中，PD²=DO²+PO²，在Rt△CQP中，PC²=PQ²+QC²，
∴PA²+PC²=PO²+OA²+PQ²+QC²，
PB²+PD²=PQ²+QB²+DO²+PO²，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四邊形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
點評：本題主要運用矩形和直角三角形的性質，考查了矩形的性質中矩形所在平面內任一點到其兩對角線端點的距離的平方和相等的證明方法．