Question

（2008•莆田）如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC有最小值？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（注：拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-）

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過的三點(diǎn)為與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，故有兩種方法（1）用一般式解答，（2）用交點(diǎn)式（兩點(diǎn)式）解答；
（2）找到變化過程中的不變關(guān)系：△CDQ∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算；
（3）因?yàn)锳、C關(guān)于x=對稱，所以MQ+MC的最小值即為MQ+MA的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A、M、Q共線時(shí)MQ+MC可取最小值．
解答：解：（1）解法一：設(shè)拋物線的解析式為
y=a（x+3）（x-4）
因?yàn)锽（0，4）在拋物線上，
所以4=a（0+3）（0-4）
解得a=-
所以拋物線解析式為
y=-（x+3）（x-4）=-x²+x+4
解法二：設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
依題意得：c=4且
解得
所以所求的拋物線的解析式為y=-x²+x+4．

（2）連接DQ，在Rt△AOB中，AB===5
所以AD=AB=5，AC=AO+CO=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2
因?yàn)锽D垂直平分PQ，
所以PD=QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB=∠QDB
因?yàn)锳D=AB，
所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB，=
即=，DQ=
所以AP=AD-DP=AD-DQ=5-=，
t=÷1=，
所以t的值是．

（3）答：對稱軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小
理由：因?yàn)閽佄锞�的對稱軸為x=-=
所以A（-3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線x=對稱
連接AQ交直線x=于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小
∵過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，
∴∠QED=∠BOA=90度
DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO，==
即==
所以QE=，DE=，
所以O(shè)E=OD+DE=2+=，
所以Q（，）
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+m（k≠0）
則
由此得
所以直線AQ的解析式為y=x+
聯(lián)立
由此得
所以M（，）
則：在對稱軸上存在點(diǎn)M（，），使MQ+MC的值最小．
點(diǎn)評(píng)：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問題和最小值問題相結(jié)合，有較大的思維跳躍，考查了同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合思維能力，是一道好題．