Question

（2004•杭州）二次函數y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點M在第二象限，且經過點A（1，0）和點B（0，1）．
（1）請判斷實數a的取值范圍，并說明理由；
（2）設此二次函數的圖象與x軸的另一個交點為C，當△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B代入拋物線的解析式中，可得出a、b的關系式，然后用a表示出拋物線的解析式．根據圖象首先肯定的是拋物線的開口向下，因此a＜0，由于拋物線頂點在第二象限即拋物線對稱軸在y軸左側，根據拋物線的對稱性可知：A點關于拋物線的對稱點必在（-1，0）的左側，因此當x=-1時，拋物線的值必大于0由此可求出a的取值范圍；
（2）根據拋物線的解析式（只含a一個待定系數的函數式）表示出頂點M和C點的坐標，然后根據題中給出的面積的等量關系式，可求出a的值．
解答：解：（1）由圖象可知：a＜0
圖象過點（0，1），
所以c=1，圖象過點（1，0），
則a+b+1=0
當x=-1時，應有y＞0，則a-b+1＞0
將a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞-1
所以，實數a的取值范圍為-1＜a＜0；

（2）此時函數y=ax²-（a+1）x+1，
M點縱坐標為：=，
圖象與x軸交點坐標為：ax²-（a+1）x+1=0，
解得；x ₁=1，x ₂=，
則AC=1-=，
要使S_△AMC=××==S_△ABC=•
可求得a=．
點評：本題主要考查了拋物線的性質、圖形面積的求法等知識點．